거꾸로 하면 합성
스펙트럼의 막대마다 사인파를 만들어 더하면 원래 파형으로 돌아옵니다. 위의 ‘찾은 사인으로 다시 합성’이 바로 이것입니다. 다음 단계부터는 이 방법으로 소리를 만듭니다.
푸리에 변환을 배우고, 사인파를 쌓아 나만의 소리를 만드는 실험실
1807년 프랑스의 수학자 조제프 푸리에는 열이 퍼지는 현상을 연구하다가, 일정하게 반복되는 신호는 모두 사인파를 더해 만들 수 있다고 주장했습니다. 거꾸로, 복잡한 소리 속에 어떤 사인파가 얼마나 들어 있는지 찾아내는 계산이 푸리에 변환입니다. 이 단계에서는 소리를 두 가지 방법으로 보고, 푸리에 변환이 사인을 찾아내는 원리를 직접 돌려 봅니다.
소리는 공기의 압력이 빠르게 오르내리는 떨림입니다. 마이크로 재서 시간에 따라 그리면 파형이 됩니다. 이것이 시간 영역에서 본 소리입니다.
같은 소리를 ‘어떤 주파수의 사인파가 얼마만큼 들어 있나’로 나타낼 수도 있습니다. 가로축이 주파수, 세로축이 크기인 막대그래프, 곧 스펙트럼입니다. 이것이 주파수 영역에서 본 소리입니다.
스펙트럼의 막대를 끌어 올려 보세요. 막대 하나가 사인파 하나입니다. 막대를 여러 개 올리면 파형은 금방 복잡해지지만, 스펙트럼은 여전히 막대 몇 개뿐입니다.
파형만 보고는 어떤 사인이 섞였는지 알기 어렵습니다. 파형을 스펙트럼으로 바꾸는 계산이 푸리에 변환, 스펙트럼을 다시 파형으로 되돌리는 계산이 푸리에 역변환(합성)입니다.
오른쪽 수수께끼 소리에는 사인파 몇 개가 섞여 있습니다. 푸리에 변환은 세 단계로 그 사인들을 찾아냅니다.
찾고 싶은 주파수, 곧 기본음의 k배로 떨리는 사인파를 수수께끼 소리에 곱합니다.
그 주파수가 소리에 들어 있으면 두 파형이 함께 오르내려서 곱이 거의 늘 양수입니다. 그래서 평균이 크게 남습니다. 들어 있지 않으면 곱이 양수(초록)와 음수(빨강)를 번갈아 오가 평균이 0이 됩니다.
k마다 얻은 값을 그래프로 그리면 봉우리가 솟은 곳이 소리에 들어 있는 사인입니다. 이 그래프가 바로 스펙트럼입니다.
실제 푸리에 변환은 sin과 cos를 함께 쓰는 복소수 e−i2πft를 곱합니다. 그래서 시작 위치(위상)가 어긋난 사인도 놓치지 않습니다. 여기서는 수수께끼 소리의 위상을 모두 0으로 두었기 때문에 sin 하나로 충분합니다.
스펙트럼의 막대마다 사인파를 만들어 더하면 원래 파형으로 돌아옵니다. 위의 ‘찾은 사인으로 다시 합성’이 바로 이것입니다. 다음 단계부터는 이 방법으로 소리를 만듭니다.
달팽이관 속 기저막은 입구 쪽이 높은 소리에, 안쪽 끝이 낮은 소리에 크게 떨립니다. 귀가 소리를 주파수별로 나눠 듣는 셈이라, 화음 속 음들을 하나하나 구별할 수 있습니다.
1965년 쿨리와 튜키가 발표한 고속 푸리에 변환(FFT) 덕분에 컴퓨터는 눈 깜짝할 사이에 스펙트럼을 계산합니다. 음성 인식, 음악 앱, 이동 통신이 모두 FFT를 씁니다. MP3와 JPEG 압축은 친척뻘인 코사인 변환을 씁니다.
배운 것을 모두 써 보세요. 사인의 배율과 레벨로 음색을 정하고(푸리에 합성), 엔벨로프로 소리가 시작하고 사라지는 모양을, EQ로 주파수별 크기를 다듬습니다. 건반을 눌러 들으며 고치면 되고, 만든 소리는 이 브라우저에 자동으로 저장됩니다.
배율 1은 누른 음, 2는 한 옥타브 위, 1.5는 완전5도 위입니다. 정수가 아닌 배율은 종처럼 금속성 소리를 냅니다.
번호 점을 끌어 주파수·게인 조절 · 점 위에서 휠로 Q 조절 · 점 더블클릭으로 밴드 켜고 끄기
신시사이저의 기본 파형 세 가지도 모두 사인파의 합입니다. 세 파형을 들어 보며 스펙트럼을 비교하고, 아래 실험실에서 사인을 하나씩 쌓아 파형이 만들어지는 과정을 확인하세요.
세 파형 모두 아래 식 하나로 나타낼 수 있습니다. 배음 번호 n마다 크기 An과 위상 φn만 다릅니다.
N을 한 칸씩 올려 보세요. 사인이 하나 더해질 때마다 흰 선(합)이 점선(목표 파형)에 조금씩 다가갑니다. ‘들으며 쌓기’를 누르면 둥근 사인 소리가 점점 목표 파형의 음색으로 바뀌는 것도 들을 수 있습니다.
어떤 배음을 얼마나 섞느냐가 파형과 음색을 정합니다. 진폭이 천천히 줄어들수록 높은 배음이 많이 남아 소리가 밝아집니다.
| 파형 | 쓰는 배음 n | 진폭 An | 위상 φn | 음색 |
|---|---|---|---|---|
| 사각파 | 1, 3, 5 … 홀수만 | 1/n | 모두 0° | 속이 빈 듯하다 |
| 삼각파 | 1, 3, 5 … 홀수만 | 1/n² | n = 3, 7, 11 …만 180° | 부드럽다 |
| 톱니파 | 1, 2, 3, 4 … 전부 | 1/n | 짝수 n만 180° | 밝고 거칠다 |
위상 180°는 그 사인을 뒤집어서(− 부호로) 더한다는 뜻입니다.
톱니파와 사각파처럼 값이 갑자기 뛰는 곳 근처에서는 사인을 아무리 많이 더해도 합이 목표보다 튀어 오릅니다. N을 늘리면 이 뿔은 좁아질 뿐, 높이는 점프 크기의 약 9%에서 더 줄지 않습니다. 1848년 윌브러햄이 처음 발견했고, 1899년 깁스가 다시 설명해 깁스 현상이라고 부릅니다.
진폭은 그대로 두고 위상만 섞으면 파형 모양은 완전히 달라지지만, 귀에는 거의 같은 소리로 들립니다. 헬름홀츠는 1863년 음색이 주로 배음의 세기로 정해진다고 결론지었습니다. 다만 아주 낮은 음이나 큰 소리에서는 차이가 들리기도 합니다.
‘계속 듣기’를 켠 채 ‘위상 섞기’를 누르면 바로 비교할 수 있습니다.
배율이 정수가 아니면 사인들의 합이 같은 모양으로 돌아오지 않습니다. 반복되지 않으니 음높이가 흐려지고 종이나 금속판처럼 들립니다. 4단계 신시사이저의 벨 프리셋은 0.56, 0.92, 1.19, 2.74 같은 비정수 배율로 만든 소리입니다.
세로축은 dB입니다. 10 dB 낮으면 진폭은 약 1/3입니다. 위상과 엔벨로프는 채점하지 않습니다.
배울 점